微积分学示例

$\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 18 t^{2} - 9 t + 2$ 且 $g (t) = {(1 - 4 t)}^{3}$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $18 t^{2} - 9 t + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.3

因为 $18$ 对于 $t$ 是常数，所以 $18 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $18 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.6

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.8

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.9

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + 0) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 3.10

将 $36 t - 9$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 1 - 4 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 4 t$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 4.3

使用 $1 - 4 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 {(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 5.2

从 ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ 中分解出因数 ${(1 - 4 t)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9)$ 中分解出因数 ${(1 - 4 t)}^{2}$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ 中分解出因数 ${(1 - 4 t)}^{2}$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 5.2.3

从 ${(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))$ 中分解出因数 ${(1 - 4 t)}^{2}$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 ${(1 - 4 t)}^{6}$ 中分解出因数 ${(1 - 4 t)}^{2}$ 。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 7

根据加法法则， $1 - 4 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ 。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 8

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (0 + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ 相加。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [- 4 t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 10

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (- 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 11

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \cdot 1}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 13.2

组合 $2$ 和 $\frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$ 。

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2))}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2}) + 12 (- 9 t) + 12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3

化简分子。

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解题步骤 14.3.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - 4 t) (36 t - 9)$ 。

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解题步骤 14.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{2 (1 (36 t - 9) - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 14.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.1.2.1.1

将 $36 t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (36 t + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.1.2

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t \cdot t - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.1.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 14.3.1.2.1.4.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 (t \cdot t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.1.4.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $36$ 。

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.1.6

将 $- 9$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} + 36 t) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.2.2

将 $36 t$ 和 $36 t$ 相加。

$\frac{2 (72 t - 9 - 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.3

运用分配律。

$\frac{2 (72 t) + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.4

化简。

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解题步骤 14.3.1.4.1

将 $72$ 乘以 $2$ 。

$\frac{144 t + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{144 t - 18 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.4.3

将 $- 144$ 乘以 $2$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.5

将 $18$ 乘以 $12$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (216 t^{2}) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.6

将 $216$ 乘以 $2$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.7

将 $- 9$ 乘以 $12$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (- 108 t) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.8

将 $- 108$ 乘以 $2$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.9

乘以 $2 (12 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 14.3.1.9.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 \cdot 24}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.1.9.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.2

从 $144 t$ 中减去 $216 t$ 。

$\frac{- 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.3

将 $- 18$ 和 $48$ 相加。

$\frac{- 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.3.4

将 $- 288 t^{2}$ 和 $432 t^{2}$ 相加。

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 14.4

重新排序项。

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

解题步骤 14.5

从 $144 t^{2} - 72 t + 30$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 14.5.1

从 $144 t^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (24 t^{2}) - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

解题步骤 14.5.2

从 $- 72 t$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

解题步骤 14.5.3

从 $30$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

解题步骤 14.5.4

从 $6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

解题步骤 14.5.5

从 $6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t + 5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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