微积分学示例

$100 (1 - e^{- 0.43 t})$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $100$ 对于 $t$ 是常数，所以 $100 (1 - e^{- 0.43 t})$ 对 $t$ 的导数是 $100 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 0.43 t}]$ 。

$100 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 0.43 t}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $1 - e^{- 0.43 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 0.43 t}]$ 。

$100 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 0.43 t}])$

解题步骤 1.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$100 (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- 0.43 t}])$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- e^{- 0.43 t}]$ 相加。

$100 \frac{d}{d t} [- e^{- 0.43 t}]$

解题步骤 1.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{- 0.43 t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{- 0.43 t}]$ 。

$100 (- \frac{d}{d t} [e^{- 0.43 t}])$

解题步骤 1.6

将 $- 1$ 乘以 $100$ 。

$- 100 \frac{d}{d t} [e^{- 0.43 t}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 0.43 t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 0.43 t$ 。

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.43 t])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.43 t])$

解题步骤 2.3

使用 $- 0.43 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 100 (e^{- 0.43 t} \frac{d}{d t} [- 0.43 t])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 0.43$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.43 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.43 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 100 e^{- 0.43 t} (- 0.43 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.2

将 $- 0.43$ 乘以 $- 100$ 。

$43 e^{- 0.43 t} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$43 e^{- 0.43 t} \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $43$ 乘以 $1$ 。

$43 e^{- 0.43 t}$

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