微积分学示例

$10 t^{2} \cdot 2^{- t}$

解题步骤 1

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10 t^{2} \cdot 2^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$ 。

$10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 2^{- t}$ 。

$10 (t^{2} \frac{d}{d t} [2^{- t}] + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = 2^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- t$ 。

$10 (t^{2} (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$10 (t^{2} (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- \frac{d}{d t} [t])) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- 1 \cdot 1)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \cdot - 1) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $2^{- t} \ln (2)$ 的左侧。

$10 (t^{2} (- 1 \cdot (2^{- t} \ln (2))) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 \cdot 2^{- t}$ 重写为 $- 2^{- t}$ 。

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} (2 t))$

解题步骤 5

通过指数相加将 $2^{- t}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $2$ 。

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2 \cdot 2^{- t} t)$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2^{- t}$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1} \cdot 2^{- t} t)$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1 - t} t)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2))) + 10 (2^{1 - t} t)$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 t^{2} (2^{- t} \ln (2)) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

解题步骤 6.4

将 $- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$ 中的因式重新排序。

$- 10 t^{2} \cdot 2^{- t} \ln (2) + 10 t \cdot 2^{1 - t}$

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