微积分学示例

$\sqrt[3]{t} (8 - t)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}} (8 - t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (t) = 8 - t$ 。

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [8 - t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $8 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t^{\frac{1}{3}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t]$ 相加。

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [- t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t^{\frac{1}{3}} (- \frac{d}{d t} [t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 1) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$t^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.6.2

将 $- 1$ 移到 $t^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$- 1 \cdot t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.6.3

将 $- 1 t^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $- t^{\frac{1}{3}}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$- t^{\frac{1}{3}} + 8 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2

合并项。

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解题步骤 11.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2

组合 $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 和 $t$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.2.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.2.4.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.2.4.3

在公分母上合并分子。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.2.4.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.2.5

要将 $- t^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.6

组合 $- t^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.9

从 $- 3 t^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$

微积分学 示例

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