微积分学示例

$\sqrt[3]{16 t + 50 t^{3}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{16 t + 50 t^{3}}$ 重写成 ${(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d t} [{(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (t) = 16 t + 50 t^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $16 t + 50 t^{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $16 t + 50 t^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(16 t + 50 t^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(16 t + 50 t^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(16 t + 50 t^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(16 t + 50 t^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [16 t + 50 t^{3}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $16 t + 50 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [16 t] + \frac{d}{d t} [50 t^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [16 t] + \frac{d}{d t} [50 t^{3}])$

解题步骤 9

因为 $16$ 对于 $t$ 是常数，所以 $16 t$ 对 $t$ 的导数是 $16 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [50 t^{3}])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [50 t^{3}])$

解题步骤 11

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 + \frac{d}{d t} [50 t^{3}])$

解题步骤 12

因为 $50$ 对于 $t$ 是常数，所以 $50 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $50 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 + 50 \frac{d}{d t} [t^{3}])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 + 50 (3 t^{2}))$

解题步骤 14

将 $3$ 乘以 $50$ 。

$\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 + 150 t^{2})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

重新排序 $\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}} (16 + 150 t^{2})$ 的因式。

$(16 + 150 t^{2}) \frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2

将 $16 + 150 t^{2}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{16 + 150 t^{2}}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3

从 $16 + 150 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 15.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (8) + 150 t^{2}}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2

从 $150 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (8) + 2 (75 t^{2})}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.3

从 $2 (8) + 2 (75 t^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (8 + 75 t^{2})}{3 {(16 t + 50 t^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

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