微积分学示例

$3 t^{3} + \sqrt{t^{3}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 t^{3} + \sqrt{t^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [3 t^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 t^{2} + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t^{3}}$ 重写成 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$9 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$9 t^{2} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 t^{2} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$9 t^{2} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$9 t^{2} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$9 t^{2} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

解题步骤 3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$9 t^{2} + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 t^{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

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