微积分学示例

$\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 9$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 9$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例