微积分学示例

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - e^{x}$ 且 $g (x) = 1 + e^{x}$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 相加。

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.1

将 $- e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- e^{x} + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- e^{x} - (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- e^{x} - e^{x + x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.3.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.5

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.6

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.6.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - (e^{x} e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x + x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.6.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.7

乘以 $- - e^{2 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + 1 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.1.7.2

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

合并 $- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

将 $- e^{2 x}$ 和 $e^{2 x}$ 相加。

$\frac{- e^{x} + 0 - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.2

将 $- e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

从 $- e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{- 2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例