微积分学示例

$\frac{x^{6}}{1 + \ln (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = 1 + \ln (x)$ 。

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{(1 + \ln (x)) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $6$ 移到 $1 + \ln (x)$ 的左侧。

$\frac{6 \cdot (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 相加。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{6}$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{6}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{5}}{1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $6 \ln (x)$ 。

$\frac{6 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $6 x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$\frac{5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}$ 中的因式重新排序。

$\frac{5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4

从 $5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $5 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

从 $x^{5} \ln (x^{6})$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.3

从 $x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (5 + \ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

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