微积分学示例

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ 重写为 ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5 x + 6$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 5 x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + 5 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

解题步骤 3.7

将 $2 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

解题步骤 4.2

重新排序 $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ 的因式。

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分母。

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解题步骤 4.6.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.6.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 4.6.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $(x + 2) (x + 3)$ 运用乘积法则。

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $- 2 x - 5$ 乘以 $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.10

从 $- (2 x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- (2 x + 5)$ 重写为 $- 1 (2 x + 5)$ 。

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

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