微积分学示例

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

从 $3 x^{7} - x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $3 x^{7}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

解题步骤 1.1.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

解题步骤 1.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3} (3 x^{4} - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

解题步骤 1.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

解题步骤 1.2.2.3

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

解题步骤 1.2.2.4

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

解题步骤 1.2.2.5

用 $x^{2} (3 x^{4} - 1)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{4} - 1$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5

将 $12$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

解题步骤 7

将 $2$ 移到 $3 x^{4} - 1$ 的左侧。

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 8.3

合并项。

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解题步骤 8.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 8.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 8.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 8.3.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 8.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

解题步骤 8.3.6

将 $12 x^{5}$ 和 $6 x^{5}$ 相加。

$18 x^{5} - 2 x$

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