微积分学示例

$\frac{3 x^{3} + 5}{x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{3} + 5$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{3} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{1 + 2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5)}{x^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3}) - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 5}{x^{2}}$

解题步骤 8.2.2

从 $9 x^{3}$ 中减去 $3 x^{3}$ 。

$\frac{6 x^{3} - 5}{x^{2}}$

微积分学 示例

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