微积分学示例

$\frac{3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 e^{x} - 4 x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} + 2 e^{x}$ 且 $g (x) = 5 e^{x} - 4 x$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $5 e^{x} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \cdot 1)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x})$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{5 e^{x} (6 x + 2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 \cdot 6 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.2

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.4

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1.4.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x + x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.4.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x \cdot x - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.8

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 \cdot 2 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.10

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 8 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.2

从 $30 e^{x} x$ 中减去 $8 x e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{30 x e^{x} - 8 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.2.2

从 $30 x e^{x}$ 中减去 $8 x e^{x}$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)$ 。

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解题步骤 7.2.1.4.1

运用分配律。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x} - 4) - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.2

运用分配律。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.3

运用分配律。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 \cdot 5 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.3

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x} e^{x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.5.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 (e^{x} e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x + x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.6

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.7

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

合并 $22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $10 e^{2 x}$ 中减去 $10 e^{2 x}$ 。

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 0 + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.3

将 $- 24 x^{2}$ 和 $12 x^{2}$ 相加。

$\frac{22 x e^{x} - 12 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{- 12 x^{2} + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2}) + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

从 $22 e^{x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.6

从 $- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.7

从 $- 15 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.8

从 $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.9

从 $8 e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.10

从 $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.11

将 $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ 重写为 $- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ 。

$\frac{- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.13

将 $- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{12 x^{2} - 22 x e^{x} + 15 x^{2} e^{x} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

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