微积分学示例

$\frac{3}{\ln (x)}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{\ln (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{\ln (x)}$ 重写为 $\ln^{- 1} (x)$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (\ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- 3 \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x}$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{x} \ln^{- 2} (x)$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{- 3}{x}$ 和 $\ln^{- 2} (x)$ 。

$\frac{- 3 \ln^{- 2} (x)}{x}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $\ln^{- 2} (x)$ 移动到分母。

$\frac{- 3}{x \ln^{2} (x)}$

解题步骤 5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x \ln^{2} (x)}$

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