微积分学示例

$\frac{2 x}{x^{2} - 3 y^{2}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} - 3 y^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 3 y^{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 3 y^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 3 y^{2}$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y^{2}]}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 3 y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y^{2}]}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x^{2} - 3 y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y^{2}]}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x^{2} - 3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ 。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}])}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}])}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$2 \frac{- x^{2} - 3 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} - 3 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{2 (- x^{2} - 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 (- 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 6 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3

从 $- 2 x^{2} - 6 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) - 6 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

从 $- 6 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3.3

从 $2 (- x^{2}) + 2 (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} - 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.5

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.6

从 $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.7

将 $- (x^{2} + 3 y^{2})$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ 。

$\frac{2 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (x^{2} + 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

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