微积分学示例

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.3

将 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2

从 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2.3

从 $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 ${(x^{2} + y^{2})}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 7

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 9

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$2 y \frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 16

组合 $2$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ 。

$y \frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 17

组合 $y$ 和 $\frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ 。

$\frac{y (2 (- 3 x^{2} + y^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{y (2 (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$\frac{y (2 (- 3 x^{2})) + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3

化简每一项。

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解题步骤 18.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot - 3 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 6 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 18.3.4.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 18.3.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{2 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.3.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.4

重新排序项。

$\frac{2 y^{3} - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.5

从 $2 y^{3} - 6 x^{2} y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 18.5.1

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y (y^{2}) - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.5.2

从 $- 6 x^{2} y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

解题步骤 18.5.3

从 $2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{2 y (y^{2} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

微积分学 示例

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