微积分学示例

$\frac{11 x^{2} + 10 x - 9}{x + 9}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 11 x^{2} + 10 x - 9$ 且 $g (x) = x + 9$ 。

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10 x - 9] - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $11 x^{2} + 10 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{(x + 9) (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x + 9) (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x + 9) (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + 0) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $22 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.12

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.13

化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 9) (22 x + 10)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (22 x + 10) + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{22 x \cdot x + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{22 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{22 x^{2} + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{22 x^{2} + 10 \cdot x + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

将 $22$ 乘以 $9$ 。

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $10 x$ 和 $198 x$ 相加。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $22 x^{2}$ 中减去 $11 x^{2}$ 。

$\frac{11 x^{2} + 208 x + 90 - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $208 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 90 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $90$ 和 $9$ 相加。

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3

从 $11 x^{2} + 198 x + 99$ 中分解出因数 $11$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $11 x^{2}$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x^{2}) + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $198 x$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x^{2}) + 11 (18 x) + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $99$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 x^{2} + 11 (18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

从 $11 x^{2} + 11 (18 x)$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

从 $11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x^{2} + 18 x + 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

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