微积分学示例

$\frac{2 x^{5} + 7}{x^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{5} + 7$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 7] - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 7] - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 7] - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x^{5} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{x^{3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [7]) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.6

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} (10 x^{4} + 0) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.7

将 $10 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} (10 x^{4}) - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 10 - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 10 - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{x^{7} \cdot 10 - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4

将 $10$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$\frac{10 \cdot x^{7} - (2 x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{10 x^{7} - (2 x^{5} + 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 x^{7} - 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 6.2

从 $10 x^{7} - 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $10 x^{7}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (10 x^{5}) - 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 6.2.2

从 $- 3 (2 x^{5} + 7) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (10 x^{5}) + x^{2} (- 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{6}}$

解题步骤 6.2.3

从 $x^{2} (10 x^{5}) + x^{2} (- 3 (2 x^{5} + 7))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{6}}$

解题步骤 7

约去公因数。

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解题步骤 7.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{10 x^{5} - 3 (2 x^{5} + 7)}{x^{4}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{10 x^{5} - 3 (2 x^{5}) - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{10 x^{5} - 6 x^{5} - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{10 x^{5} - 6 x^{5} - 21}{x^{4}}$

解题步骤 8.2.2

从 $10 x^{5}$ 中减去 $6 x^{5}$ 。

$\frac{4 x^{5} - 21}{x^{4}}$

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