微积分学示例

$\frac{2 x^{2} - 8}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{2} - 8$ 且 $g (x) = x^{2} - 16$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8] - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $4$ 移到 $x^{2} - 16$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

合并 $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$\frac{- 64 x + 0 + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 64 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 64 x + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 64 x$ 和 $16 x$ 相加。

$\frac{- 48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简分母。

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解题步骤 3.7.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$- \frac{48 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

对 $(x + 4) (x - 4)$ 运用乘积法则。

$- \frac{48 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

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