微积分学示例

$f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 5)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

解题步骤 2.3

使用 $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

解题步骤 3

根据加法法则， $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 13

组合 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 15

组合 $x$ 和 $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 16

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 17

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 17.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 17.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 17.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 17.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 17.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 17.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 17.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 19

将 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 20

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

解题步骤 21

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

将 $\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

解题步骤 22.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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解题步骤 22.2.1

将 $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

解题步骤 22.2.2

合并。

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$

解题步骤 22.3

运用分配律。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.4.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.5

从 $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 22.5.1

从 $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.5.2

从 $2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.5.3

从 $e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.6

从 $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 22.6.1

从 $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

解题步骤 22.6.2

从 $2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)}$

解题步骤 22.6.3

从 $2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$

微积分学 示例

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