微积分学示例

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

解题步骤 1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 4 e^{x} - x$ 。

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $4 e^{x} - x$ 的左侧。

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $4 e^{x} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 5.3

合并分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

组合 $7$ 和 $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ 。

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.2

将 $8$ 乘以 $7$ 。

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.5

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.8

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.9

乘以 $- x^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.5.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.2

将 $- 14 x^{2}$ 和 $7 x^{2}$ 相加。

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.5.3

将 $56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.6

重新排序项。

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.7

化简分子。

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解题步骤 6.7.1

从 $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $7 x$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

从 $- 7 x^{2}$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.7.1.2

从 $56 e^{x} x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.7.1.3

从 $- 28 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.7.1.4

从 $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.7.1.5

从 $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.7.2

重新排序项。

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.8

从 $- 4 e^{x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.9

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.10

从 $- (4 e^{x} x) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.11

从 $8 e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.12

从 $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.13

将 $- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ 重写为 $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ 。

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.15

将 $- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

微积分学 示例

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