微积分学示例

${(x + 7)}^{2} + {(\sqrt{x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x + 7)}^{2}$ 重写为 $(x + 7) (x + 7)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + 7) (x + 7) + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 7) (x + 7)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x + 7) + 7 (x + 7) + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 3.1.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 3.1.3

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 7 x + 49 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 3.2

将 $7 x$ 和 $7 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x + 49 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + 14 x + 49 + {(\sqrt{x})}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [14 x]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 5.3

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 14 + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 6

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

解题步骤 7

计算 $\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$ 。

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解题步骤 7.1

将 ${(\sqrt{x})}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot 2}]$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

解题步骤 7.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

约去公因数。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

解题步骤 7.1.4.2

重写表达式。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{1}]$

解题步骤 7.1.5

化简。

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 14 + 0 + 1$

解题步骤 8

合并项。

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解题步骤 8.1

将 $2 x + 14$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 14 + 1$

解题步骤 8.2

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$2 x + 15$

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