微积分学示例

${(x + y)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + y) (x + y)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x + y) + y (x + y)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

解题步骤 3.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

解题步骤 3.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 3.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

解题步骤 4

根据加法法则， $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 6

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 9

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 2 y + 0$

解题步骤 10

将 $2 x + 2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2 y$

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