微积分学示例

${(\csc (x) - \cot (x))}^{- 1}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x) - \cot (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\csc (x) - \cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\csc (x) - \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

解题步骤 3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 5

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x))$

解题步骤 6

乘。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x))$

解题步骤 6.2

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x))$

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