微积分学示例

${(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{5}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(3 x - 1)}^{7}$ 且 $g (x) = {(2 x + 1)}^{5}$ 。

${(3 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{5}] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x + 1$ 。

${(3 x - 1)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

${(3 x - 1)}^{7} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(3 x - 1)}^{7} (5 {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $5$ 移到 ${(3 x - 1)}^{7}$ 的左侧。

$5 \cdot {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x - 1$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

解题步骤 4.3

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $7$ 移到 ${(2 x + 1)}^{5}$ 的左侧。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 \cdot {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + 0)$

解题步骤 5.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.7.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \cdot 3$

解题步骤 5.7.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

解题步骤 5.7.3

从 $10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 5.7.3.1

从 $10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4}$ 中分解出因数 ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ 。

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

解题步骤 5.7.3.2

从 $21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ 。

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$

解题步骤 5.7.3.3

从 ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$ 中分解出因数 ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ 。

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1) + 21 (2 x + 1))$

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