微积分学示例

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{4} + 8$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{4} + 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

解题步骤 1.3

使用 $3 x^{4} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.5

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

解题步骤 2.6.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 乘以 $24$ 。

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

解题步骤 3.3.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

解题步骤 3.3.3

将 $24$ 乘以 $8$ 。

$72 x^{7} + 192 x^{3}$

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