微积分学示例

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{h}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ 。

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + h$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + h$ 。

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 2.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + h$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 3.3

因为 $h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $h$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 3.4.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

解题步骤 3.7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{h}$ 。

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{5}{h}$ 和 ${(x + h)}^{4}$ 。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

解题步骤 4.2.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{h}$ 。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{- 5}{h}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

解题步骤 4.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

解题步骤 4.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$

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