微积分学示例

$\frac{d^{9}}{d x^{9}} \cdot (x^{8} \ln (x))$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{8} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x^{8}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{8}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2

约去 $x^{8}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{7}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2.2.5

用 $x^{7}$ 除以 $1$ 。

$x^{7} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x^{7} + \ln (x) (8 x^{7})$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{7} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ 。

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.5

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.6

约去 $x^{7}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x$ 。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.6.2.3

约去公因数。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.6.2.4

重写表达式。

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.2.6.2.5

用 $x^{6}$ 除以 $1$ 。

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

解题步骤 2.3.2

合并项。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

解题步骤 2.3.2.2

将 $7 x^{6}$ 和 $8 x^{6}$ 相加。

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$f'' (x) = 15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{6}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$15 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

将 $6$ 乘以 $15$ 。

$90 x^{5} + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $56$ 对于 $x$ 是常数，所以 $56 x^{6} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $56 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ 。

$90 x^{5} + 56 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.5

组合 $x^{6}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$90 x^{5} + 56 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6.2.3

约去公因数。

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6.2.4

重写表达式。

$90 x^{5} + 56 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.6.2.5

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$90 x^{5} + 56 (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$90 x^{5} + 56 x^{5} + 56 (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $6$ 乘以 $56$ 。

$90 x^{5} + 56 x^{5} + 336 (\ln (x) (x^{5}))$

解题步骤 3.4.2.2

将 $90 x^{5}$ 和 $56 x^{5}$ 相加。

$146 x^{5} + 336 \ln (x) x^{5}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$f''' (x) = 146 x^{5} + 336 x^{5} \ln (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $146 x^{5} + 336 x^{5} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [146 x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [146 x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [146 x^{5}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $146$ 对于 $x$ 是常数，所以 $146 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $146 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$146 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$146 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

解题步骤 4.2.3

将 $5$ 乘以 $146$ 。

$730 x^{4} + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $336$ 对于 $x$ 是常数，所以 $336 x^{5} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $336 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ 。

$730 x^{4} + 336 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.5

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$730 x^{4} + 336 (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.6

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.6.2.3

约去公因数。

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.6.2.4

重写表达式。

$730 x^{4} + 336 (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.3.6.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$730 x^{4} + 336 (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$730 x^{4} + 336 x^{4} + 336 (\ln (x) (5 x^{4}))$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $5$ 乘以 $336$ 。

$730 x^{4} + 336 x^{4} + 1680 (\ln (x) (x^{4}))$

解题步骤 4.4.2.2

将 $730 x^{4}$ 和 $336 x^{4}$ 相加。

$1066 x^{4} + 1680 \ln (x) x^{4}$

解题步骤 4.4.3

重新排序项。

$f^{4} (x) = 1066 x^{4} + 1680 x^{4} \ln (x)$

解题步骤 5

求五阶导数。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1066 x^{4} + 1680 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1066 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1066 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 5.2

计算 $\frac{d}{d x} [1066 x^{4}]$ 。

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解题步骤 5.2.1

因为 $1066$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1066 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $1066 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$1066 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$1066 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 5.2.3

将 $4$ 乘以 $1066$ 。

$4264 x^{3} + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 5.3

计算 $\frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 5.3.1

因为 $1680$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1680 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $1680 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ 。

$4264 x^{3} + 1680 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 5.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 5.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.5

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.6

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.6.2.3

约去公因数。

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.6.2.4

重写表达式。

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.3.6.2.5

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$4264 x^{3} + 1680 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

运用分配律。

$4264 x^{3} + 1680 x^{3} + 1680 (\ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.4.2

合并项。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $4$ 乘以 $1680$ 。

$4264 x^{3} + 1680 x^{3} + 6720 (\ln (x) (x^{3}))$

解题步骤 5.4.2.2

将 $4264 x^{3}$ 和 $1680 x^{3}$ 相加。

$5944 x^{3} + 6720 \ln (x) x^{3}$

解题步骤 5.4.3

重新排序项。

$f^{5} (x) = 5944 x^{3} + 6720 x^{3} \ln (x)$

解题步骤 6

求六阶导数。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $5944 x^{3} + 6720 x^{3} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5944 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [5944 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{d}{d x} [5944 x^{3}]$ 。

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解题步骤 6.2.1

因为 $5944$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5944 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5944 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5944 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5944 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

解题步骤 6.2.3

将 $3$ 乘以 $5944$ 。

$17832 x^{2} + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

解题步骤 6.3

计算 $\frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 6.3.1

因为 $6720$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6720 x^{3} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6720 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ 。

$17832 x^{2} + 6720 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$

解题步骤 6.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.5

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.6

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.6.2.3

约去公因数。

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.6.2.4

重写表达式。

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.3.6.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$17832 x^{2} + 6720 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

运用分配律。

$17832 x^{2} + 6720 x^{2} + 6720 (\ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.4.2

合并项。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $3$ 乘以 $6720$ 。

$17832 x^{2} + 6720 x^{2} + 20160 (\ln (x) (x^{2}))$

解题步骤 6.4.2.2

将 $17832 x^{2}$ 和 $6720 x^{2}$ 相加。

$24552 x^{2} + 20160 \ln (x) x^{2}$

解题步骤 6.4.3

重新排序项。

$f^{6} (x) = 24552 x^{2} + 20160 x^{2} \ln (x)$

解题步骤 7

求七阶导数。

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解题步骤 7.1

根据加法法则， $24552 x^{2} + 20160 x^{2} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [24552 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [24552 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{d}{d x} [24552 x^{2}]$ 。

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解题步骤 7.2.1

因为 $24552$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24552 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $24552 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$24552 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$24552 (2 x) + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $24552$ 。

$49104 x + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

解题步骤 7.3

计算 $\frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 7.3.1

因为 $20160$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20160 x^{2} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $20160 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ 。

$49104 x + 20160 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

解题步骤 7.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.5

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$49104 x + 20160 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.6.2.3

约去公因数。

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.6.2.4

重写表达式。

$49104 x + 20160 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.3.6.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$49104 x + 20160 (x + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

运用分配律。

$49104 x + 20160 x + 20160 (\ln (x) (2 x))$

解题步骤 7.4.2

合并项。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $2$ 乘以 $20160$ 。

$49104 x + 20160 x + 40320 (\ln (x) (x))$

解题步骤 7.4.2.2

将 $49104 x$ 和 $20160 x$ 相加。

$69264 x + 40320 \ln (x) x$

解题步骤 7.4.3

重新排序项。

$f^{7} (x) = 40320 x \ln (x) + 69264 x$

解题步骤 8

求八阶导数。

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解题步骤 8.1

根据加法法则， $40320 x \ln (x) + 69264 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2

计算 $\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 8.2.1

因为 $40320$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40320 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $40320 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$40320 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$40320 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$40320 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$40320 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$40320 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

约去公因数。

$40320 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.6.2

重写表达式。

$40320 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.2.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$40320 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [69264 x]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $69264$ 对于 $x$ 是常数，所以 $69264 x$ 对 $x$ 的导数是 $69264 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264 \cdot 1$

解题步骤 8.3.3

将 $69264$ 乘以 $1$ 。

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

运用分配律。

$40320 \cdot 1 + 40320 \ln (x) + 69264$

解题步骤 8.4.2

合并项。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $40320$ 乘以 $1$ 。

$40320 + 40320 \ln (x) + 69264$

解题步骤 8.4.2.2

将 $40320$ 和 $69264$ 相加。

$f^{8} (x) = 40320 \ln (x) + 109584$

解题步骤 9

求九阶导数。

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解题步骤 9.1

根据加法法则， $40320 \ln (x) + 109584$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$ 。

$\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 9.2.1

因为 $40320$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40320 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $40320 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$40320 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$

解题步骤 9.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$40320 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [109584]$

解题步骤 9.2.3

组合 $40320$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{40320}{x} + \frac{d}{d x} [109584]$

解题步骤 9.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.3.1

因为 $109584$ 对于 $x$ 是常数，所以 $109584$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{40320}{x} + 0$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{40320}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{9} (x) = \frac{40320}{x}$

微积分学 示例

微积分学示例