微积分学示例

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{3} + 4 (2 x)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 8 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 x^{3} + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 x^{2} + 8 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 8$

微积分学 示例

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