微积分学示例

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x - 35$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 35] - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 35$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 35$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 35$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 25) (2 x + 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (2 x + 2) - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.4

将 $2$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.5

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{1 + 2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 35$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

合并 $2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 + 0 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2 x^{2} - 50 x - 50$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 50 x - 50 + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

将 $- 50 x$ 和 $70 x$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $20 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $- 50$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

从 $2 (- x^{2}) + 2 (10 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5

从 $2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.4.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ 并且它们的和为 $b = 10$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{2 (- x^{2} + 10 (x) - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.1.2

把 $10$ 重写为 $5$ 加 $5$

$\frac{2 (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2 ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{2 ((- x + 5) (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

合并指数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

从 $- (x) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $- (x - 5)$ 重写为 $- 1 (x - 5)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.5

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

对 $(x + 5) (x - 5)$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

约去 ${(x - 5)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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