微积分学示例

$- \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 36$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 36)}^{2}$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36] - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36] - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36] - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36]) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} - 36)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{2}]}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 36$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 36$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} - 36$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - (x^{2} + 36) (2 (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x^{2} - 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.4

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) (2 x))}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 36$ 的左侧。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 2 (x^{2} + 36) (2 \cdot (x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + \frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 5.7

化简表达式。

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解题步骤 5.7.1

将 $\frac{x^{2} + 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}} + 0$

解题步骤 5.7.2

将 $- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x - 4 (x^{2} + 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) ((x^{2} - 36) x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$- \frac{2 {(x^{2} - 36)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(x^{2} - 36)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36)$ 。

$- \frac{2 ((x^{2} - 36) (x^{2} - 36)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} - 36) - 36 (x^{2} - 36)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 (x^{2} - 36)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 36 - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

将 $- 36$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{2 (x^{4} - 36 \cdot x^{2} - 36 x^{2} - 36 \cdot - 36) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $- 36$ 乘以 $- 36$ 。

$- \frac{2 (x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.3.2

从 $- 36 x^{2}$ 中减去 $36 x^{2}$ 。

$- \frac{2 (x^{4} - 72 x^{2} + 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.4

运用分配律。

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (- 72 x^{2}) + 2 \cdot 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.5

化简。

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解题步骤 6.3.1.5.1

将 $- 72$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{(2 x^{4} - 144 x^{2} + 2 \cdot 1296) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.5.2

将 $2$ 乘以 $1296$ 。

$- \frac{(2 x^{4} - 144 x^{2} + 2592) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.6

运用分配律。

$- \frac{2 x^{4} x - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7

化简。

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解题步骤 6.3.1.7.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 6.3.1.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{1 + 4} - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{2} x + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 (x \cdot x^{2}) + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x^{5} - 144 (x^{1} x^{2}) + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{1 + 2} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.8

将 $- 4$ 乘以 $36$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{2} x - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.9

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.9.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.9.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{2} x^{1} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{2 + 1} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.9.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + (- 4 x^{2} - 144) (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x^{2} - 144) (x^{3} - 36 x)$ 。

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解题步骤 6.3.1.10.1

运用分配律。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{2} (x^{3} - 36 x) - 144 (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.10.2

运用分配律。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 (x^{3} - 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.10.3

运用分配律。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.11.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.1.11.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (- 36 x) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 x^{2} x - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.11.1.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 (x \cdot x^{2}) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.11.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 (x^{1} x^{2}) - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 x^{1 + 2} - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} - 4 \cdot - 36 x^{3} - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 36$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} - 144 (- 36 x)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.1.5

将 $- 36$ 乘以 $- 144$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.2

从 $144 x^{3}$ 中减去 $144 x^{3}$ 。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 0 + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.1.11.3

将 $- 4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x - 4 x^{5} + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.2

从 $2 x^{5}$ 中减去 $4 x^{5}$ 。

$- \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} + 2592 x + 5184 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.3.3

将 $2592 x$ 和 $5184 x$ 相加。

$- \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} + 7776 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 2 x^{5} - 144 x^{3} + 7776 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

从 $- 2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$- \frac{2 x (- x^{4}) - 144 x^{3} + 7776 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.1.2

从 $- 144 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) + 7776 x}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.1.3

从 $7776 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) + 2 x (3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.1.4

从 $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$- \frac{2 x (- x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.1.5

从 $2 x (- x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (3888)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$- \frac{2 x (- x^{4} - 72 x^{2} + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 72 x^{2} + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- \frac{2 x (- u^{2} - 72 u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 6.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 3888 = - 3888$ 并且它们的和为 $b = - 72$ 。

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解题步骤 6.4.4.1.1

从 $- 72 u$ 中分解出因数 $- 72$ 。

$- \frac{2 x (- u^{2} - 72 (u) + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.4.1.2

把 $- 72$ 重写为 $36$ 加 $- 108$

$- \frac{2 x (- u^{2} + (36 - 108) u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.4.1.3

运用分配律。

$- \frac{2 x (- u^{2} + 36 u - 108 u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \frac{2 x ((- u^{2} + 36 u) - 108 u + 3888)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- \frac{2 x (u (- u + 36) + 108 (- u + 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $- u + 36$ 来因式分解多项式。

$- \frac{2 x ((- u + 36) (u + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2 x ((- x^{2} + 36) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.6

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$- \frac{2 x ((- x^{2} + 6^{2}) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.7

将 $- x^{2}$ 和 $6^{2}$ 重新排序。

$- \frac{2 x ((6^{2} - x^{2}) (x^{2} + 108))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.4.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 6$ 和 $b = x$ 。

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

解题步骤 6.5

化简分母。

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解题步骤 6.5.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x^{2} - 6^{2})}^{4}}$

解题步骤 6.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{((x + 6) (x - 6))}^{4}}$

解题步骤 6.5.3

对 $(x + 6) (x - 6)$ 运用乘积法则。

$- \frac{2 x (6 + x) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.6

约去 $6 + x$ 和 ${(x + 6)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

重新排序项。

$- \frac{2 x (x + 6) (6 - x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.6.2

从 $2 x (x + 6) (6 - x) (x^{2} + 108)$ 中分解出因数 $x + 6$ 。

$- \frac{(x + 6) ((2 x (6 - x)) (x^{2} + 108))}{{(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.6.3

约去公因数。

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解题步骤 6.6.3.1

从 ${(x + 6)}^{4} {(x - 6)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 6$ 。

$- \frac{(x + 6) ((2 x (6 - x)) (x^{2} + 108))}{(x + 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4})}$

解题步骤 6.6.3.2

约去公因数。

$- \frac{(x + 6) ((2 x (6 - x)) (x^{2} + 108))}{(x + 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4})}$

解题步骤 6.6.3.3

重写表达式。

$- \frac{(2 x (6 - x)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.7

约去 $6 - x$ 和 ${(x - 6)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$- \frac{2 x (- 1 (- 6) - x) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.7.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 x (- 1 (- 6) - (x)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.7.3

从 $- 1 (- 6) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 x (- 1 (- 6 + x)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.7.4

重新排序项。

$- \frac{2 x (- 1 (x - 6)) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.7.5

从 $2 x (- 1 (x - 6)) (x^{2} + 108)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$- \frac{(x - 6) (2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108))}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 6.7.6

约去公因数。

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解题步骤 6.7.6.1

从 ${(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$- \frac{(x - 6) (2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108))}{(x - 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3})}$

解题步骤 6.7.6.2

约去公因数。

$- \frac{(x - 6) (2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108))}{(x - 6) ({(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3})}$

解题步骤 6.7.6.3

重写表达式。

$- \frac{2 x \cdot (- 1) (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 6.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{- 2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 6.9

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 6.10

乘以 $- - \frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$ 。

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解题步骤 6.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 6.10.2

将 $\frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 108)}{{(x + 6)}^{3} {(x - 6)}^{3}}$

微积分学 示例

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