微积分学示例

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 14 x$ 且 $g (x) = {(7 + x)}^{2}$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{({(7 + x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(7 + x)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} + 14 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 2.4

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \cdot 1) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 2.6

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 7 + x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 + x$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 u \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $7 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 (7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 4.2

从 ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ 中分解出因数 $7 + x$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14)$ 中分解出因数 $7 + x$ 。

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ 中分解出因数 $7 + x$ 。

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 4.2.3

从 $(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))$ 中分解出因数 $7 + x$ 。

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 ${(7 + x)}^{4}$ 中分解出因数 $7 + x$ 。

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 6

根据加法法则， $7 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 7

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \cdot 1}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(7 + x) (2 x + 14)$ 。

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解题步骤 11.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{7 (2 x + 14) + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14 x + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.1.2

将 $7$ 乘以 $14$ 。

$\frac{14 x + 98 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{14 x + 98 + 2 x \cdot x + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{14 x + 98 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.1.5

将 $14$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + 14 x - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.2

将 $14 x$ 和 $14 x$ 相加。

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $14$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2

合并 $28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x$ 中相反的项。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{28 x + 98 + 0 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $28 x + 98$ 和 $0$ 相加。

$\frac{28 x + 98 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2.3

从 $28 x$ 中减去 $28 x$ 。

$\frac{0 + 98}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $0$ 和 $98$ 相加。

$\frac{98}{{(7 + x)}^{3}}$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{98}{{(x + 7)}^{3}}$

微积分学 示例

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