微积分学示例

$\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} - 25$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{2}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $- x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 2.7

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (2 (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 25$ 的左侧。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) (2 \cdot (x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 {(x^{2} - 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.2

将 ${(x^{2} - 25)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ 。

$\frac{- 2 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4.1.2

将 $- 25$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4.1.3

将 $- 25$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{- 2 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4.2

从 $- 25 x^{2}$ 中减去 $25 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.5

运用分配律。

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.6

化简。

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解题步骤 5.3.1.6.1

将 $- 50$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $625$ 。

$\frac{(- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.7

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{4} x + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8

化简。

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解题步骤 5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 4} + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 (x^{1} x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2} x^{1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2 + 1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} + 100) (x^{3} - 25 x)$ 。

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解题步骤 5.3.1.11.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} - 25 x) + 100 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.11.2

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.11.3

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{2} x + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{1 + 2} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{3} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.4

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.1.5

将 $- 25$ 乘以 $100$ 。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.2

将 $- 100 x^{3}$ 和 $100 x^{3}$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.12.3

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$\frac{2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.3.3

从 $- 1250 x$ 中减去 $2500 x$ 。

$\frac{2 x^{5} + 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 x^{5} + 100 x^{3} - 3750 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.1.2

从 $100 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $- 3750 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.1.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.1.5

从 $2 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x (u^{2} + 50 u - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} + 50 u - 1875$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 1875$ ，和为 $50$ 。

$- 25, 75$

解题步骤 5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 x ((u - 25) (u + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{2 x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.4.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

解题步骤 5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{((x + 5) (x - 5))}^{4}}$

解题步骤 5.5.3

对 $(x + 5) (x - 5)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 5.6

约去 $x + 5$ 和 ${(x + 5)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

从 ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

解题步骤 5.6.2.2

约去公因数。

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

解题步骤 5.6.2.3

重写表达式。

$\frac{(2 x (x - 5)) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 5.7

约去 $x - 5$ 和 ${(x - 5)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $(2 x (x - 5)) (x^{2} + 75)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

从 ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

解题步骤 5.7.2.2

约去公因数。

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

解题步骤 5.7.2.3

重写表达式。

$\frac{(2 x) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

微积分学 示例

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