微积分学示例

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{2 x - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

$\frac{(2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1] - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(2 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.12

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.13

化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (2 x - 2)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{2 x (2 x - 2) - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

从 $- 4 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 10 + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 14 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 10 + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $10$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 x^{2} - 10 x + 12$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

从 $2 x^{2} + 2 (- 5 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.5

从 $2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 5 x + 6)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 3.3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 ((x - 3) (x - 2))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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