微积分学示例

$\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{9 x}$ 且 $g (x) = 7 x - 2$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{9 x}] - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \cdot 1) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} \cdot 9 - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $9$ 移到 $(7 x - 2) e^{9 x}$ 的左侧。

$4 \frac{9 \cdot ((7 x - 2) e^{9 x}) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $7 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.9

合并分数。

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解题步骤 4.9.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.9.3

组合 $4$ 和 $\frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{4 (9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{4 ((9 (7 x) + 9 \cdot - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x} + 9 \cdot - 2 e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$\frac{4 (63 x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

将 $63$ 乘以 $4$ 。

$\frac{252 (x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $9$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{252 x e^{9 x} + 4 (- 18 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} - 28 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

从 $- 72 e^{9 x}$ 中减去 $28 e^{9 x}$ 。

$\frac{252 x e^{9 x} - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5

重新排序项。

$\frac{252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}$ 中分解出因数 $4 e^{9 x}$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $252 e^{9 x} x$ 中分解出因数 $4 e^{9 x}$ 。

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

从 $- 100 e^{9 x}$ 中分解出因数 $4 e^{9 x}$ 。

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

从 $4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)$ 中分解出因数 $4 e^{9 x}$ 。

$\frac{4 e^{9 x} (63 x - 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

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