微积分学示例

$\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$4 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$4 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$4 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.8

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 3.10

组合 $- 5$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$- 16 x^{- 5} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 16 \frac{1}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{- 16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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