微积分学示例

$3 x {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x {(16 - x)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 16 - x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $16 - x$ 。

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $16 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $16 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.9

将 ${(16 - x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 5.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 5.3

从 $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 5.3.2

从 $3 {(16 - x)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

解题步骤 5.3.3

从 $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

解题步骤 5.4

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.5

将 ${(16 - x)}^{2}$ 重写为 $(16 - x) (16 - x)$ 。

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.6

使用 FOIL 方法展开 $(16 - x) (16 - x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.6.3

运用分配律。

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1.1

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.7.2

从 $- 16 x$ 中减去 $16 x$ 。

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.8

运用分配律。

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.9

化简。

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解题步骤 5.9.1

将 $3$ 乘以 $256$ 。

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.9.2

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ 。

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

将 $- 4$ 乘以 $768$ 。

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.2

将 $768$ 乘以 $16$ 。

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.11.4.1

移动 $x$ 。

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.5

将 $- 96$ 乘以 $- 4$ 。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.6

将 $16$ 乘以 $- 96$ 。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.7

使用乘法的交换性质重写。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.11.8.1

移动 $x$ 。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.11.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.9

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 5.11.10

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 5.12

从 $- 3072 x$ 中减去 $1536 x$ 。

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 5.13

将 $384 x^{2}$ 和 $48 x^{2}$ 相加。

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

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