微积分学示例

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + 27$ 。

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $3 x^{2} + 27$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $3 x^{2} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8

从 $3 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $4$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.3

化简分子。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 12 x^{2} + 108$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 10.3.1.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.3.1.2

从 $108$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.3.1.3

从 $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.3.3

将 $- x^{2}$ 和 $3^{2}$ 重新排序。

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = x$ 。

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.4

化简分母。

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解题步骤 10.4.1

从 $3 x^{2} + 27$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

解题步骤 10.4.1.2

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

解题步骤 10.4.1.3

从 $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

解题步骤 10.4.2

对 $3 (x^{2} + 9)$ 运用乘积法则。

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 10.4.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 10.5

约去 $12$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

从 $12 (3 + x) (3 - x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 10.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.5.2.1

从 $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

解题步骤 10.5.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

解题步骤 10.5.2.3

重写表达式。

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

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