微积分学示例

$\frac{4 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 1 + \sin (x)$ 。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 10

组合 $4$ 和 $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 。

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin (x) \sin (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.4

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 11.3.1.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.2

从 $- 4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.3

从 $- 4 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.4

从 $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.5

使用勾股恒等式。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4 \sin (x) - 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.4

重新排序项。

$\frac{- 4 - 4 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.5

从 $- 4 - 4 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 11.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- 4 (1) - 4 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.5.2

从 $- 4 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- 4 (1) - 4 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.5.3

从 $- 4 (1) - 4 (\sin (x))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\frac{- 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.6

约去 $1 + \sin (x)$ 和 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.6.1

从 $- 4 (1 + \sin (x))$ 中分解出因数 $1 + \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 11.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.6.2.1

从 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 + \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 11.6.2.2

约去公因数。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 11.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 11.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{1 + \sin (x)}$

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