微积分学示例

$4 \sqrt{x y}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x y}$ 重写成 ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 11

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 12

约去公因数。

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解题步骤 12.1

从 $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 13

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

组合 $y$ 和 $\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y \cdot 2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 14.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 16

将 $\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

对 $x y$ 运用乘积法则。

$\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2

合并项。

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解题步骤 17.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{2 y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 17.2.2.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y)}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.2

将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 17.2.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.2.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

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