微积分学示例

$\frac{5}{\sin (7 x)}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{\sin (7 x)}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (7 x)}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (7 x)}]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sin (7 x)}$ 转换成 $\csc (7 x)$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\csc (7 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 3.2

$\csc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc (u) \cot (u)$ 。

$5 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 3.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 (\csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 4.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 \csc (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$- 35 \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 35 \csc (7 x) \cot (7 x) \cdot 1$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 35$ 乘以 $1$ 。

$- 35 \csc (7 x) \cot (7 x)$

解题步骤 4.5.2

重新排序 $- 35 \csc (7 x) \cot (7 x)$ 的因式。

$- 35 \cot (7 x) \csc (7 x)$

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