微积分学示例

$\frac{5 x}{\sec (5 x)}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x}{\sec (5 x)}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec (5 x)$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.2

将 $\sec (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 4.2

$\sec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec (u) \tan (u)$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 4.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 5

从 $\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ 中分解出因数 $\sec (5 x)$ 。

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解题步骤 5.1

乘以 $1$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.2

从 $- x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ 中分解出因数 $\sec (5 x)$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3

从 $\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$ 中分解出因数 $\sec (5 x)$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $\sec^{2} (5 x)$ 中分解出因数 $\sec (5 x)$ 。

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec (5 x)}$

解题步骤 7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

解题步骤 8

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) \cdot 1)}{\sec (5 x)}$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将 $\tan (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

解题步骤 10.2

组合 $5$ 和 $\frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$ 。

$\frac{5 (1 - 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 - 25 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{- 25 x \tan (5 x) + 5}{\sec (5 x)}$

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