微积分学示例

$\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$

解题步骤 1

因为 $5 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$ 。

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2} + 2 x$ 。

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $y^{2} + 2 x$ 乘以 $1$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $y^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \cdot 1}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.9

化简项。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.9.2

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$5 y \frac{y^{2} + 0}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.9.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$5 y \frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.9.4

组合 $5$ 和 $\frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ 。

$y \frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.9.5

组合 $y$ 和 $\frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ 。

$\frac{y (5 y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{5 y^{3}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

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