微积分学示例

$\frac{5 x + 3}{5 x - 3}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 5 x + 3$ 且 $g (x) = 5 x - 3$ 。

$\frac{(5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3] - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(5 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(5 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [3]) - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 x - 3) (5 + 0) - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(5 x - 3) \cdot 5 - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $5$ 移到 $5 x - 3$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot (5 x - 3) - (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $5 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{5 (5 x - 3) - (5 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5 (5 x - 3) - (5 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 (5 x - 3) - (5 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 (5 x - 3) - (5 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 (5 x - 3) - (5 x + 3) (5 + 0)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 (5 x - 3) - (5 x + 3) \cdot 5}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 (5 x - 3) - 5 (5 x + 3)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot - 3 - 5 (5 x + 3)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot - 3 - 5 (5 x) - 5 \cdot 3}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

合并 $5 (5 x) + 5 \cdot - 3 - 5 (5 x) - 5 \cdot 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $5 (5 x)$ 中减去 $5 (5 x)$ 。

$\frac{5 \cdot - 3 + 0 - 5 \cdot 3}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $5 \cdot - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 \cdot - 3 - 5 \cdot 3}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 15 - 5 \cdot 3}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 15 - 15}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $- 15$ 中减去 $15$ 。

$\frac{- 30}{{(5 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{30}{{(5 x - 3)}^{2}}$

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