微积分学示例

$e^{100 x} - 3^{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{100 x} - 3^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{100 x}] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{100 x}] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{100 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 100 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $100 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $100 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{100 x} \frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2.2

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100 x$ 对 $x$ 的导数是 $100 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{100 x} (100 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{100 x} (100 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2.4

将 $100$ 乘以 $1$ 。

$e^{100 x} \cdot 100 + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 2.5

将 $100$ 移到 $e^{100 x}$ 的左侧。

$100 e^{100 x} + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$100 e^{100 x} - \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$100 e^{100 x} - 3^{x} \ln (3)$

解题步骤 4

重新排序项。

$- 3^{x} \ln (3) + 100 e^{100 x}$

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