微积分学示例

$e^{\sqrt{\sin (x)}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sin (x)}$ 重写成 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

解题步骤 10

组合 $\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$

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