微积分学示例

$e^{5 \sin (2 x)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 \sin (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $5 \sin (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{5 \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$e^{5 \sin (2 x)} (5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

解题步骤 2.2

将 $5$ 移到 $e^{5 \sin (2 x)}$ 的左侧。

$5 \cdot e^{5 \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$5 e^{5 \sin (2 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$5 e^{5 \sin (2 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 e^{5 \sin (2 x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 e^{5 \sin (2 x)} \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 e^{5 \sin (2 x)} \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 e^{5 \sin (2 x)} \cos (2 x) \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$10 e^{5 \sin (2 x)} \cos (2 x)$

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