微积分学示例

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x \ln (x^{3})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

解题步骤 1.3

使用 $4 x \ln (x^{3})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

解题步骤 2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \ln (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x^{3})$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3}$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $x$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2.3

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2.3.3

重写表达式。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.4

化简项。

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解题步骤 5.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.4.2

组合 $\frac{3}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.4.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1

约去公因数。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.4.3.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

解题步骤 5.6

将 $\ln (x^{3})$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

解题步骤 6.3.2

将 $12$ 移到 $e^{4 x \ln (x^{3})}$ 的左侧。

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$

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