微积分学示例

$e^{2 x} \sin (2 x) \cos (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x} \sin (2 x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 4.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 6.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \cdot 2))$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 \cdot e^{2 x}))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x))) + \cos (x) (\sin (2 x) (2 e^{2 x}))$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $\cos (x) e^{2 x}$ 的左侧。

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) e^{2 x} \cos (2 x) + \cos (x) \sin (2 x) (2 e^{2 x})$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$- e^{2 x} \sin (x) \sin (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \cos (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \sin (2 x)$

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