微积分学示例

$\frac{d}{d x} \cdot (\sin^{2} (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{2} (x)$ 且 $g (x) = \log_{7} (\sin^{3} (x))$ 。

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\log_{7} (\sin^{3} (x))] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{7} (x)$ 且 $g (x) = \sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin^{3} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{7} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

$\log_{7} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (7)}$ 。

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{u_{1} \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin^{3} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)}$ 和 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3.2

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin^{3} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $\sin^{3} (x) \ln (7)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{\sin (x) \ln (7)}$ 。

$\frac{3}{\sin (x) \ln (7)} (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5.2

组合 $\sin^{2} (x)$ 和 $\frac{3}{\sin (x) \ln (7)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 3}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5.3

将 $3$ 移到 $\sin^{2} (x)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot \sin^{2} (x)}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5.4

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $\sin (x) \ln (7)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) (\ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \cos (x) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 7

组合 $\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 9

将 $2$ 移到 $\log_{7} (\sin^{3} (x))$ 的左侧。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \cdot \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 10

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

解题步骤 11.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

解题步骤 11.2.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

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